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Beispiel

11 private Haushalte werden nach ihrem monatlichen Nettoeinkommen [] und ihren monatlichen Konsumausgaben [] befragt:
Haushalt $i$ Nettoeinkommen $x_i$ Konsum $y_i$
1 1780 1600
2 1480 1480
3 1540 1500
4 2070 1750
5 3390 2300
6 1900 1750
7 4220 2750
8 2800 2050
9 2700 1850
10 3990 2500
11 4600 3000

Die Regressionskoeffizienten $\hat{a}$ und$\hat{b}$ werden nach der Methode der kleinsten Quadrate (MKQ) bestimmt.

\begin{displaymath}a,b: \sum_{i=1}^{n}(y_i-a-b*x_i)\to Min\end{displaymath}

Also muss hier nun die Ableitung gebildet werden. 1. Ableitung:

\begin{displaymath}\frac{\delta}{\delta a}\sum(y_i-a-bx_i)^2=2\sum(y_i-a-bx_i)\end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{\delta}{\delta b}\sum(y_i-a-bx_i)^2=-2\sum(y_i-a-bx_i)*x_i\end{displaymath}

\begin{figure}
\centering\leavevmode
\epsfbox{Konsumverhalten.ps}
\end{figure}

Null setzen:

\begin{displaymath}(1) \sum(y_i-a-bx_i)=\sum y_i-n+a-b*\sum x_i=0\end{displaymath}


\begin{displaymath}(2) \sum(x_i*g_i-a*x_i-b*x_i^2)=\sum x_i*y_i-a\sum x_i-b\sum x_i^2=0\end{displaymath}

Die Lösung der Gleichung liefert extremwertverdächtige Punkte. Mit $\frac{1}{n}$ multiplizieren:

\begin{displaymath}(1) \frac{1}{n} \sum y_i-a-b \frac{1}{n} \sum x_i = \bar{y}-a-b*\bar{x}\end{displaymath}


\begin{displaymath}(2) \frac{1}{n} \sum x_i*y_i-a \frac{1}{n} \sum x_i - b \frac...
...i^2=\frac{1}{n}\sum x_i*y_i-a*\bar{x}-b*\frac{1}{n}\sum x_i^2=0\end{displaymath}

(1) in (2) nach $a$ umgeformt einsetzen:

\begin{displaymath}\frac{1}{n}\sum x_i * y_i-(\bar{y}-b*\bar{x}-b*\frac{1}{n}\sum x_i^2=0\end{displaymath}


\begin{displaymath}\frac{1}{n}\sum x_i y_i -\bar{x}*\bar{y}=b*(\frac{1}{n}\sum x_i^2-\bar{x}^2)\end{displaymath}


\begin{displaymath}b=\frac{\frac{1}{n}\sum x_i*y_i-\bar{x}*\bar{y}}{\frac{1}{n}\...
...^2}=\frac{\sum x*y_i-n*\bar{x}*\bar{y}}{\sum x_i^2-n*\bar{x}^2}\end{displaymath}

Optimale Regressionskoeffizienten:
\begin{displaymath}
\hat{b}=\frac{\frac{1}{n-1}\left[ \sum x_i*y_i-n*\bar{x}*\b...
...x_i-\bar{x})*(y_i-\bar{y})}{\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\bar{x})^2}
\end{displaymath} (6.1)


\begin{displaymath}\hat{b}=r_{xy}*\frac{s_y}{s_x}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}*\bar{x}\end{displaymath}

In unserem Beispiel:
$\bar{x}=2770,00$ ; $s_x=1128,450$ ; $r=0,988$ ; $\bar{y}=2048,18$ ; $s_y= 520,323$

\begin{displaymath}\hat{b}=0.988*\frac{520,323}{1128,45}\approx 0,456\end{displaymath}


\begin{displaymath}\hat{a}=2048,18-0,456*2770\approx 786,3\end{displaymath}

Als Regressionsgerade ergibt sich somit:

\begin{displaymath}y=0,456*x+786,3\end{displaymath}

Interpretation: Bei Erhöhung der Nettoeinkünfte um 100 werden im Mittel 45,60 mehr für Konsum ausgegeben. Vorsicht bei Interpretationen außerhalb des Wertebereichs: Bei 0 Einkunft sind im Mittel 786,3 für Konsum ausgegeben worden???
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Matthias Stukenberg 2004-07-07