Aufgabe 5

Auf der Autobahn A4 werden am Freitagnachmittag im Rahmen einer Verkehrskontrolle 20 LKW zufällig aus dem fließenden Verkehr gewunken und einer technischen Überprüfung unterzogen. Es sei bekannt, dass ein Fünftel aller LKW, die um diese Uhrzeit auf der A4 fahren, technische Mängel haben.

1. Die Anzahl $X$ der bei der Verkehrskontrolle zu beanstandenden LKW ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p$. Wie groß ist hier $n$ und $p$?
   Lösung:
   
   
   $$n=20 \quad ; \quad p=0,2$$
   
   

2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Polizeiinspekteure genau zwei mit Mängeln behaftete LKW finden?
   Lösung:
   
   
   $$P(2)={10 \choose 2}*0,2^2*(1-0,2)^{18}=45*0,04*0,018=0,1369$$
   
   

3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als zwei LKW zu beanstanden sein werden?
   Lösung:
   
   
   $$P(X>2)=1-(P(0)+P(1)+P(2))$$
   
   
   
   
   $$P(0)={ 10 \choose 0}*0,2^0*(1-0,2)^{20}=0,012$$
   
   
   
   
   $$P(1)={ 10 \choose 1}*0,2^1*(1-0,2)^{19}=0,058$$
   
   
   
   
   $$P(2)={ 10 \choose 2}*0,2^2*(1-0,2)^{18}=0,1369$$
   
   
   
   
   $$P(X>2)=0,7931$$
   
   

4. Mit wie vielen mangelhaften LKW muss die Polizei bei der Kontrolle von 20 Fahrzeugen im Mittel rechnen?
   Lösung:
   
   
   $$EX=n*p=4$$